Heuristieken bij rekenen: wat zijn het? | Nieuwe kerndoelen

Wat zijn heuristieken bij rekenen? Kort gezegd zijn het beredeneerde manieren om een probleem te onderzoeken als je nog niet weet hoe je het moet oplossen. Denk aan proberen en controleren, een probleem vereenvoudigen, terugredeneren, een tekening of tabel maken of het probleem opdelen in kleinere problemen.

Je weet de route naar het antwoord nog niet. Je probeert dus niet zomaar iets, maar kiest een aanpak waarvan je denkt dat die je verder kan helpen. Eigenlijk ben je aan het scouten.

En juist dat maakt heuristisch probleemoplossen interessant voor het rekenonderwijs. Leerlingen leren niet alleen hoe ze een bekende route moeten volgen, maar ook wat ze kunnen doen als die route nog niet duidelijk is.

Heuristieken in de nieuwe kerndoelen rekenen en wiskunde

Heuristieken hebben een duidelijke plek gekregen binnen de nieuwe kerndoelen voor rekenen en wiskunde van SLO.

Ze horen bij wiskundig probleemoplossen: leerlingen krijgen een probleem dat voor hen niet routinematig oplosbaar is. De oplossingsroute ligt dus niet vooraf vast. De leerling moet zelf een aanpak bedenken en uitvoeren en kan daarbij heuristieken gebruiken.

Dat probleemoplossen zelf is overigens niet nieuw. Ook in de eerdere kerndoelen had het al een plek. Wel krijgt het in de nieuwe kerndoelen veel explicieter aandacht. En dat is interessant. Want bij veel gewone rekenopgaven weten leerlingen al ongeveer wat er van hen verwacht wordt. Bij een wiskundig probleem is dat juist niet zo.

Wat is een heuristiek?

Een heuristiek is een mogelijke aanpak die je gebruikt om verder te komen bij een probleem waarvan je de oplossingsroute nog niet kent. Dat is iets anders dan een algoritme. Bij een algoritme ligt de route vast. Als je bijvoorbeeld een aangeleerde rekenprocedure correct uitvoert, leidt die je naar de uitkomst.

Een heuristiek geeft die zekerheid niet. Je denkt bijvoorbeeld: misschien helpt het als ik eerst een eenvoudigere versie van dit probleem bekijk. Je probeert dat en kijkt vervolgens wat je daarvan leert. Een poging kan dus ook níét tot de oplossing leiden. Dat maakt de poging niet automatisch mislukt. Je hebt misschien informatie verzameld waarmee je een betere volgende stap kunt kiezen.

Voorbeelden van heuristieken bij rekenen

Leerlingen kunnen bij een niet-routinematig rekenprobleem bijvoorbeeld proberen:

• een tekening of schema te maken;

• een tabel te maken;

• systematisch mogelijkheden uit te proberen;

• te proberen en vervolgens te controleren;

• het probleem eerst eenvoudiger te maken;

• terug te redeneren vanaf het gevraagde;

• het probleem op te delen in kleinere problemen;

• een patroon te zoeken.

Het belangrijke woord is steeds kan. Een heuristiek is geen nieuw stappenplan dat een leerling bij iedere opgave moet afwerken.

Een tekening kan bij het ene probleem enorm helpen en bij het volgende probleem nauwelijks iets toevoegen. Het gaat er juist om dat leerlingen een repertoire van mogelijke aanpakken opbouwen en steeds beter leren bedenken: Wat zou mij bij dít probleem verder kunnen helpen?

Je kunt het zien als scouten

Mij doet het denken aan scouting. Een scout die onbekend terrein verkent, kent de route naar zijn bestemming nog niet. Hij kijkt om zich heen, gebruikt de informatie die hij heeft en kiest een richting die kansrijk lijkt. Soms blijkt een pad dood te lopen. Dat betekent niet dat de verkenning zinloos was. Je weet nu iets wat je daarvoor nog niet wist. Met die informatie kun je een andere richting kiezen.

Bij heuristisch probleemoplossen gebeurt hetzelfde. Een poging die niet tot de oplossing leidt, kan wel een geslaagde stap in het oplossen van het probleem zijn. Dat is wezenlijk anders dan een routebeschrijving volgen.

Het moeilijkste is soms niet rekenen, maar niet-weten

Een niet-routinematig probleem vraagt van een leerling dat hij daadwerkelijk aan het werk blijft terwijl de oplossing nog niet in zicht is.

Je moet je aandacht bij het probleem houden. Niet onmiddellijk de eerste bewerking uitvoeren die in je opkomt. Een aanpak kiezen zonder te weten of die gaat werken. Onthouden wat je al hebt ontdekt. Verdragen dat een poging niets lijkt op te leveren. Teruggaan, je aanpak aanpassen en opnieuw proberen.

Heuristisch probleemoplossen doet daarmee een beroep op verschillende executieve functies, zoals:

• volgehouden aandacht;

• inhibitie;

• werkgeheugen;

• cognitieve flexibiliteit;

• emotieregulatie;

• metacognitie.

Dat maakt werken met heuristieken ook voor verschillende leerlingen om verschillende redenen interessant.

Voor sterke rekenaars: leren omgaan met niet-weten

Er zijn goede rekenaars die gewend zijn dat goed kunnen rekenen betekent dat je snel ziet wat je moet doen. Bij een gewone som herkennen ze de bewerking of procedure vrijwel onmiddellijk. Dat voelt vertrouwd: ik kan dit.

Een niet-routinematig probleem kan ineens een heel andere ervaring geven. Je weet het antwoord niet meteen. Misschien weet je zelfs niet hoe je moet beginnen. Je eerste idee werkt niet. Een klasgenoot ontdekt een route die jij niet zag.Dat kan behoorlijk ongemakkelijk zijn. En juist daarom is het waardevol.

Een leerling kan ervaren dat een tijdje niet weten een normaal onderdeel van probleemoplossen is. Je hoeft niet te wachten tot de oplossing zich aandient. Je kunt onderzoeken, proberen, terugkijken en opnieuw kiezen.

Eerst denken, dan handelen

Bij andere leerlingen zie je bijna het tegenovergestelde. Zij weten niet direct wat ze moeten doen en gaan daarom maar iets doen.

Er staan twee getallen, dus die worden bij elkaar opgeteld. Er staat een percentage, dus er moet blijkbaar iets met honderd gebeuren. Getallen worden gecombineerd en daarna wordt gekeken of er misschien een aannemelijk antwoord uitkomt.

Er wordt gehandeld voordat het probleem voldoende is onderzocht. Ook voor deze leerlingen is heuristisch probleemoplossen interessant.

De volgorde wordt:

verkennen → beredeneerd handelen → kijken wat je actie oplevert → bijsturen

Niet: Ik weet niet wat ik moet doen, dus ik doe maar iets.

Maar: Ik weet nog niet wat ik moet doen. Wat kan ik doen om daarachter te komen?

Dat verschil,  tussen onmiddellijk handelen en eerst proberen te begrijpen wat er aan de hand is, speelt overigens niet alleen bij niet-routinematige problemen. Ook bij redactiesommen zie je leerlingen soms rechtstreeks van de getallen in een verhaal naar een bewerking springen.

Heuristieken en rijke rekenopgaven

Heuristieken passen daarom heel goed bij rijke rekenopgaven en andere niet-routinematige rekenproblemen.

Een rijke rekenopgave geeft niet onmiddellijk prijs welke oplossingsroute een leerling moet volgen. Er kan meer dan één aanpak mogelijk zijn en er valt iets te onderzoeken, redeneren en bespreken.

Je zou kunnen zeggen: De rijke rekenopgave geeft het terrein. Heuristieken geven manieren om dat terrein te verkennen.

Daarom is na afloop niet alleen het goede antwoord interessant.

Vraag ook:

Hoe ben je begonnen?

Wat heb je geprobeerd toen je niet verder kwam?

Wat ontdekte je door die poging?

Waarom koos je daarna voor een andere aanpak?

Welke aanpak van iemand anders had jij ook kunnen gebruiken?

Daarmee help je leerlingen een steeds groter repertoire op te bouwen voor situaties waarin de oplossingsroute niet al voor hen is uitgestippeld.

Eerst oriënteren: ook bij redactiesommen

Daar ligt voor mij ook de verbinding met het Situatiekompas, dat ik ontwikkelde voor het werken met redactiesommen.

Bij een redactiesom is de oplossingsroute meestal minder open dan bij een rijk, niet-routinematig probleem. Het Situatiekompas is dus geen verzameling heuristieken. Maar er zit wel een overeenkomst in de manier van kijken. Een leerling begint niet meteen met: Welke som moet ik maken?maar met: Wat gebeurt hier eigenlijk?

Komt er iets bij of gaat er iets af? Is er een verschil? Wordt iets verdeeld? Gaat het om een deel van een geheel? Veranderen twee hoeveelheden in samenhang?

Daarmee probeer ik de automatische sprong van verhaal naar bewerking te onderbreken. Eerst kijken waar je bent. Dan bepalen welke richting logisch is.

Bij niet-routinematige problemen gaat die gedachte nog een stap verder. Soms heb je je georiënteerd en ligt de route nog steeds niet klaar. Dan moet je gaan scouten.

Hoe leer je leerlingen heuristieken gebruiken?

Alleen af en toe een ingewikkelde of rijke rekenopgave voorleggen is daarvoor niet genoeg. De leerlingen die van nature graag puzzelen, gaan waarschijnlijk wel op onderzoek uit. Andere leerlingen haken af, wachten op instructie of beginnen willekeurig te rekenen.

Als we willen dat alle leerlingen leren om wiskundige problemen op te lossen, moeten we dus ook aandacht besteden aan het proces. Niet onmiddellijk redden wanneer een leerling zegt: Ik weet niet hoe het moet. Maar ook niet alleen antwoorden: Probeer nog maar even.

We kunnen leerlingen laten kennismaken met verschillende heuristieken. We kunnen oplossingsroutes naast elkaar leggen. Bespreken waarom een bepaalde aanpak wel of niet hielp. En expliciet laten zien dat een doodlopende route informatie kan opleveren. Dan wordt ik weet het niet geen eindpunt. Het wordt het moment waarop je je gereedschap pakt, om je heen kijkt en denkt: Ik weet het nog niet. Welke kant zou ik eens kunnen verkennen?

Eerst begrijpen, dan rekenen

Bij redactiesommen is de route anders dan bij niet-routinematige problemen, maar ook daar helpt het om niet onmiddellijk van de getallen in een verhaal naar een bewerking te springen.

Met het Situatiekompas leren leerlingen eerst onderzoeken wat er in een situatie gebeurt en op basis daarvan bepalen welke bewerking past.